ASPETTO GEOGRAFICO: L'India è una repubblica federale dell'Asia centro-meridionale, la sua capitale è Nuova Delhi. La posizione astronomica, la notevole estensione e la complessità dei rilievi comportano la varietà di vegetazione e di possibilità culturali.

LA STORIA DELLA MATEMATICA IN INDIA: Lo sviluppo della matematica in India è compreso fra il 1200 e il 200 a.C. In questo periodo, l'India fu invasa inizialmente da popolazioni ariane e in seguito dai persiani, Alessandro Magno, poi seguì il regno della dinastia Maurya e raggiunse il massimo splendore con Asoka. La geometria degli Indiani era mutuata da quella Greca, mentre l'algebra è stata influenzata da Alessandria e Babilonia. Dall'albero genealogico delle cifre di Karl Menninger si può estrapolare:

In India i primi studi matematici sono stati compiuti intorno al 1000 a.C. Si deve agli indiani la scoperta del sistema di numerazione posizionale, fondato sull'uso di nove cifre e dello zero (sistema decimale). La prima comparsa dello zero in India, si trova in un'iscrizione del 876 a.C., in altre parole due secoli dopo il primo riferimento alle altre nove cifre. È probabile che lo zero, abbia avuto origine nel mondo greco, sia stato trasmesso all'India dopo che vi si era consolidato il sistema posizionale decimale. Con l'introduzione di un segno rotondo per indicare lo zero, era completato il moderno sistema di numerazione per gli interi. Anche se l'aspetto delle cifre era molto diverso da quello attuale, i principi di base erano comunque acquisiti. Gli indiani sapevano che un'equazione ammette due radici o soluzioni che potrebbero risultare negative o irrazionali. I matematici più importanti di questo periodo sono: Ãryabhata, Brahmagupta e Bhãskara. La maggior parte delle loro opere erano d'astronomia e d'astrologia, solo alcune parti erano dedicate alla matematica. Gli indiani scoprirono l'introduzione e l'uso del sistema di numerazione posizionale in base 10, i numeri erano rappresentati attraverso simboli Brahmanici. Lo zero era trattato come tutti gli altri numeri e non come un numero che rappresentava "assenza di quantità". Conoscevano le regole di calcolo: "a + 0 = 0", "a - 0 = 0" e "a * 0 = 0". Per rappresentare i debiti furono introdotti numeri negativi ed erano indicati con la sovrapposizione di un punto o di una stella. Formularono le regole per le quattro operazioni; le radici negative e le soluzioni negative di un problema, erano accettate come debito, soprattutto quando non era possibile interpretarle. Brahmagupta risolse alcune equazioni di terzo grado completando rispettivamente il cubo e il quadrato del binomio corrispondente, poi estraendo la radice cubica o quadratica, cioè applicando un metodo che permetterebbe più tardi la risoluzione di tutte le equazioni biquadratiche. Risolsero equazioni di primo grado del tipo: "ax + by = c" o "ax - by = c". con la a, b e c interi positivi ed equazioni di secondo grado della forma: x2 - ay2 = 1, con "a" non necessariamente un quadrato perfetto, riconobbero che queste equazioni erano fondamentali per risolvere quella della forma: "cy2 = ax2 + b". Bhãskara nella sua opera siddãnta Siromani risolse le equazioni di secondo grado a coefficienti interi del tipo: "ax + by + = c + xy" trasformandola in "(x - b) (y - a) = ab - c" e scompose "ab - c " nel prodotto di due fattori interi "m" e "n"; cioè considerando "x - b = m"e "y - a = n" e ottenne "x = m + b" e "y = n + a". L'algebra era utilizzata per risolvere problemi commerciali e usuali, ma l'astronomia costituisce la sua principale applicazione. Gli indiani svilupparono ottimi procedimenti e grande abilità tecnica, ma non si preoccuparono di giustificare le regole impiegate, le loro opere costituiscono una raccolta di regole e problemi ma sono carenti di sistemazione logica fra le varie parti. LO ZERO: Nel 500 a.C. circa Arrabhata concepì un sistema di numerazione posizionale. Lui usò la parola "kha" per posizione e questa sarebbe stata usata più tardi come il nome per lo zero. C'è la probabilità che un punto era usato nei più antichi manoscritti indiani per denotare un luogo vuoto in notazione posizionale. È interessante che negli stessi documenti usarono qualche volta anche un punto per denotare un ignoto dove è probabile che noi usiamo x. Noi abbiamo un'iscrizione su una tavoletta di pietra che contiene una data che corrisponde all'876 a.C. L'iscrizione riguardante la città di Gwalior, 400 Km sud di Delhi dove loro piantarono un orto con 270 hastas che produrrebbero abbastanza fiori da permettere a 50 ghirlande di essere date al tempio locale ogni giorno. Prendendo in considerazione l'aspetto di zero come un numero notiamo come prima cosa che non è in alcun senso un candidato per un numero. Da prima calcola numeri sono parole che si riferiscono a raccolte d'oggetti. Certamente l'idea di numero divenne più astratta e quest'estrazione rese poi possibile la considerazione di zero e numeri negativi che non sorgono come proprietà di raccolte di oggetti. Chiaramente il problema sorge quando si tenta di considerare zero e disapprovare i numeri come loro interagiscono in riguardo alle operazioni dell'aritmetica: somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione. In tre importanti libri i matematici indiani che Brahmagupta, Nahavira e Bhaskara hanno tentato di rispondere a queste domande. Nel settimo secolo Brahmagupta tentò di definire le regole per l'aritmetica che comporta zero e numeri negativi. Egli diede le seguenti regole per somma che comporta zero: la somma di zero ed un numero negativo è negativa, la somma di un numero positivo e zero è positiva, la somma di zero e zero è zero. Per la sottrazione è un poco più sodo: un numero negativo sottratto da zero è positivo, un numero positivo sottratto da zero è negativo, zero sottratto da un numero negativo è negativo, zero sottratto da un numero positivo è positivo, zero sottratto da zero è zero. Brahmagupta dice che alcun numero quando moltiplicato a zero è zero ma quando avviene la divisione: numeri positivi o negativi quando divisi da zero sono una frazione di cui lo zero è denominatore. Zero diviso da un numero negativo o positivo è zero, sono espressi con una frazione in cui lo zero è il numeratore e la quantità limitata come denominatore. Zero diviso da zero è zero. Nel 830 a.C. Mahavira scrisse Ganita Sara Samgraha che fu disegnato come un aggiornamento del libro di Brahmagupta. Lui afferma correttamente che: un numero moltiplicato da zero è zero, ed un numero rimano lo stesso quando zero è sottratto da esso. Comunque i suoi tentativi di migliorare le asserzioni di Brahmagupta su dividere lo zero sembrano condurlo in errore. Egli scrive: un numero rimane immutato quando diviso da zero. Bhaskara scrisse più di 500 anni dopo Brahmagupta. Nonostante il passaggio di tempo lui sta ancora lottando per spiegare la divisione da zero. Lui scrive: una quantità divisa da zero significa che il denominatore della frazione è zero. Questa frazione è stata chiamata una quantità infinita. In questa quantità che consiste di che azzeri per il suo divisore, non c'è modifica, sebbene molti possono essere inseriti o possono essere estratti, come nessun luogo di prese di scambio nell'infinito e Dio immutabile quando mondi sono creati e distrusse, sebbene ordini numerosi di esseri sono assorbiti o sono messi avanti. Quindi Bhaskara tentò di risolvere il problema scrivendo "n / 0 = 8". Egli afermò correttamente le altre proprietà dello zero, comunque come "02 = 0" e "v0 = 0". Forse dovremmo notare a questo punto che c'era un'altra civiltà che sviluppo un sistema di numerazione con lo zero. Questa civiltà era i Maya che vissero in America centrale, occupando l'area che oggi è il Messico meridionale, Guatemala, ed il Belize settentrionale. Questa era una antica civiltà ma fiorì particolarmente tra il 250 e il 900 a.C. noi sappiamo che entro il 665 a.C. usarono un sistema di numerazione posizionale in base a 20 con un simbolo per lo zero. Il simbolo per indicare lo zero fu presentato prima del sistema di numerazione posizionale, questo fu un conseguimento straordinario, ma che sfortunatamente non influenzò l'altro popolo. Il lavoro brillante dei matematici indiani fu emesso agli islamici e matematici arabi. Venne all'inizio al-Khwarizmi che scrisse sull'arte indù di calcolare, che descrive il sistema di numerazione posizionale basato su 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0. Ibn Ezra, nel XII secolo, scrisse tre trattati sui numeri che aiutarono a portare i simboli indiani e le idee di frazioni decimali all'attenzione di alcune persone dotte in Europa. Il libro del numero descrive il sistema decimale per numero intero con valori di posizione che andò via via migliorando. In questo lavoro Ibn Ezra usa uno zero che lui chiama galgal (intendendo una ruota o un cerchio). Più tardi nel XII secolo al-Samawal scrisse: se noi sottraiamo un numero positivo da zero gli stessi resti di numeri negativi,se noi sottraiamo un numero negativo da zero gli stessi resti di numero positivi. Nel 1247 il matematico cinese Ch'in Chiu-Shao scrisse il trattato matematico in nove sezioni e gli usi del simbolo "0" per indicare lo zero. Una delle presone che creò un collegamento tra le nuove idee sul sistema di numerazione l'Europa fu Leonardo Pisano (dal 1175 al 1235 a.C.). Egli, noto come Fibonacci, era figlio di un funzionario dello stato, e per seguire le orme del padre, aveva viaggiato in Egitto, Siria, Grecia e Algeria e per questo imparò il sistema di notazione indo-arabica. Nel suo libro descrisse le regole fondamentali per sommare, sottrarre, moltiplicare e dividere. Dopo aver spiegato tali procedimenti aritmetici, spiegò i problemi che riguardavano transazioni commerciali, utilizzando un sistema complesso per il calcolo dei cambi di moneta.

LA MOLTIPLICAZIONE FULMINEA: I documenti più antichi che testimoniano la conoscenza di un sistema di numerazione risalgono al III - II secolo a.C. e ci presentano in buon livello di conoscenze raggiunto un astronomia e in matematica. Si presume che gli indiani siano stati fra i primi popoli ad usare solo nove simboli per scrivere tutti i numeri e successivamente ad utilizzare il sistema posizionale e un simbolo per lo zero, che fu diffusa dagli arabi in oriente e poi in occidente. La conoscenza delle nove cifre fu diffusa in Italia nel 1200 d.C.

Il metodo utilizza uno schema a forma di tabella. Le cifre nella prima riga in alto formano uno dei due fattori del prodotto, quello della terza colonna da sinistra: 6589 * 546. In ogni cella corrispondente all'incrocio fra una riga e una colonna è scritto il prodotto dei due numeri. La cifra delle decine sopra e quella delle unità sotto ogni diagonale. Si sommano tutte le cifre comprese fra le due diagonali dall'ultima in basso a destra e si scrive il risultato sull'ultima riga tenendo conto di un eventuale riporto. Leggendo queste cifre da sinistra verso destra si avrà il risultato del prodotto. ZITELLA PER I NUMERI: "Livalati" è un libro leggendario scritto da Bhãskara. Dal libro noi possiamo trovare mille anni di cultura matematica indiana, grazie ad una patetica vicenda che merita di essere raccontata. Nato nella casta dei Brahamini, Bhãskara, detto Acharya, fin da giovanissimo aveva saputo approfittare delle possibilità che il suo stato gli offriva. Si era dedicato anima e corpo allo studio, in particolare a quello dei numeri. Egli si sposò, ebbe una figlia, che la leggenda descrive di una bellezza straordinaria. Bhãskara era un padre indù molto premuroso, ed interrogò gli astrologi e seppe che secondo le previsione delle stelle la sua adorata foglia avrebbe vissuto a lungo ma non si sarebbe mai sposata. Gli anni passarono; Bhãskara teneva costantemente la figlia con sé educandola ai segreti dei numeri; ai misteri delle figure geometriche, ai culti religiosi e alla scienza delle stelle. Ma quando la figlia di Bhãskara giunse a diciotto anni, la primavera della natura ebbe il sopravvento sull'educazione. Lilavati una sera manifestò al padre che le sarebbe piaciuto avere un marito. Bhãskara per giorni e notti almanaccò con i suoi numeri e con le sue figure, eseguì calcoli di ogni genere, finché no riuscì a trovare che ad una certa ora di un certo giorno gli dei avrebbero permesso le nozze della figlia. Allora chiamò sé la ragazza e le fece la grande rivelazione, raccontandole anche delle precedenti previsioni negative. Ora non c'era che scegliere un marito. Un vecchio amico di Bhãskara aveva un figlio scapolo: l'affare fu combinato e cominciarono i preparativi per le nozze. Il giorno fatidico la casa del sapiente si riempì di invitati festanti: cori, libagioni, canti propiziatori, infine la processione nuziale. Gli astrologi avevano posto in un tripode vicino a Livalati una preziosa clessidra ad acqua. Quando l'ultima goccia di liquido fosse passata dal vaso superiore a quello inferiore, sarebbe stato il momento del "sì" concesso a Livalati dalla nutrita schiera degli dei indù. Passarono molti minuti - veramente interminabili per la ragazza - poi un astrologo si piegò a controllare quanto liquido restava ancora da gocciolare e scoprì con raccapriccio che l'"orologio" si era fermato: l'acqua non passava dal vaso superiore a quello inferiore della clessidre. Era successo che una perla della collana di Livalati, staccandosi, era andata a cedere inopinatamente nel vaso, ostruendo il foro di scarico. Il tempo concesso dagli dei per il matrimonio era trascorso senza che nessuno se ne fosse accorto o avesse potuto valutarlo. Lilavati dovette rinunciare al suo uomo e restò zitella. Fu allora che Bhãskara, per consolare la figlia, le promise di renderla immortale intitolando a lei il suo trattato di aritmetica che chiamò appunto Livalati, la bellissima. Un compendio di regole, di osservazioni, di conoscenze che impieghiamo anche oggi.