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A = {(x, µA(x)}
dove µA (x) è la funzione che caratterizza l'insieme fuzzy, cioè la funzione di appartenenza che associa ad ogni punto di X un numero reale nell'intervallo [ 0, 1], e dove il valore di µA(x) rappresenta il grado di appartenenza di x in A (Zadeh, 1965).
Se A è un insieme ordinario, la sua funzione di appartenenza può avere solo due valori
µA (x)= 1 se x appartiene ad A
µA(x)= 0 se x non appartiene ad A,
quindi la sua funzione di appartenenza diventa identica alla sua funzione caratteristica.
Quindi l'assunzione di base è che un insieme fuzzy malgrado la vaghezza dei suoi confini può essere definito precisamente associando ad ogni elemento x di A un numero tra 0 e 1.
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Nella figura è rappresentata la funzione di appartenenza di un generico insieme fuzzy A.Vediamo che il valore massimo della funzione è 1, mentre quello minimo è zero. Gli elementi dell'insieme x1 e x2 hanno invece gradi di appartenenza intermedi.
A = ( 1.0/6'5'', 0.9/5'11'', 0.8/ 5'9'' )
e supponiamo che i valori di altezza cui corrisponde un grado di appartenenza inferiore a 0.95 non interessino. È possibile allora creare un insieme fuzzy i cui gradi di appartenenza delle rispettive x siano uguali o superiori a 0.95; questo nuovo insieme fuzzy, chiamato
A 0.95, sarà definito nel seguente modo:
A 095 = ( 1.0/6'5'', 0.95/5'11'')
Il valore 0.95 viene chiamato "a - cut" (alfa - cut)
Quindi l'a-cut funziona da soglia, per mezzo della quale solo gli elementi che hanno funzione di appartenenza superiore o uguale al valore soglia a vengono considerati. Quando il grado di appartenenza uguale ad a è incluso nell' a-cut , si parla di debole a-cut. Quando il valore non è incluso si avrà un a - cut forte. Va precisato che gli a - cuts sono valori assegnati in maniera arbitraria dal decisore .
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